两角和与差的余弦轮子哥公式的五种推导方法之对比
本文摘要:两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往往得到了广大教师的关注 . 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同的两角

两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:

 

方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法

 

设角α的终边与单位圆的交点为P1POP1β,则POxαβ

 

两角和与差的余弦轮子哥公式的五种推导方法之对比

 

过点PPMx轴,垂足为M,那么OM即为αβ角的余弦线,这里要用表示αβ的正弦、余弦的线段来表示OM

 

过点PPAOP1,垂足为A,过点AABx轴,垂足为B,再过点PPCAB,垂足为C,那么cosβOAsinβAP,并且PACP1Oxα,于是OMOBBMOBCPOAcosαAPsinαcosβcosαsinβsinα

 

综上所述,.

 

    说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.

 

方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

 

P1(x1y1)P2(x2y2),则有|P1P2 |= .

 

在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角αα,它们的终边分别交单位圆于P2P3P4点,单位圆与x轴交于P1,则P1(1,0)P2(cosαsinα)P3(cos(α+β)sin(α+β)).

 

两角和与差的余弦轮子哥公式的五种推导方法之对比

 

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